Cubo Mágico

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.


Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)


Termo Geral de uma PA


Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r


Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.



Propriedades das Progressões Aritméticas


Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.


Exemplo:
PA : ( a, b, c ) ; portanto, b = (a + c) / 2


Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.


Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.


Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r


Estas propriedades facilitam a solução de problemas.


Soma dos n primeiros termos de uma PA


Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.


Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an


É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1


Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)


Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.


Daí então, vem finalmente que:



Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.