Exercícios

Exercicios Resolvidos

1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.

2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?

Solução:

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer
p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4

Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.

3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos .
Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5. 
 

1- Na seqüência (a n)n E N*, dada por (4,-7,0,8,5,5,5...), identifique os termos a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7.
R=

a1 será o 1º termo que é 4

a2 será o 2º termo que é -7 (e assim por diante)

a3=0 a4= 8 a5=5 a6=5 a7=5

2- Expresse sob a forma ( a1, a2, a3, a4....) cada uma das seguintes seqüência:

a) (an)n E N*, tal que { a1=6
                                  {an +1=9+an

R= O primeiro termo da seqüência é 6; isto é a1=6;

Na igualdade a n+1= 9+na, atribuindo-se a n o valor de 1,2,3..., obtemos os demais termos da seqüência, isto é:

n=1 => a2=9+a1 => a2=9+6 =15

n=2 => a3=9+a2=> a3= 9+15=24

n=3 => a4=9+a3 => a4=9+24=42

Logo a seqüência é (6, 15, 24, 42).

b) (an)n E N*, tal que an=5n+3

R=  Para determinar os termos dessa seqüência basta atribuir a na os valor 1,2,3 e 4 na igualdade an= 5n+3

n=1 => a1=5.1+3=8

n=2 => a2= 5.2+3= 13

n=3 =>a3= 5.3+ 3 = 18

n=4 => a4= 5.4+3 = 23

Logo a seqüência é (8, 13, 18, 23)

1- Determinar o 61º termo da P.A. (9,13,17,21,...).

R= A1=9, r =4, n=61, a61=?

Aplicando a formula do termo geral, an= a1+(n-1)r , para n=61, temos:

A61= 9+(61-1).4 => a61= 9 + 60 . 4 => a61= 249


2- Determine a razão da PA (a1,a2,a3,...) em que a1=2 e a8=3.

R= a1= 2 , a8= 3 , r = ?

Aplicando a formula do termo geral, an= a1+(n-1)r, para n=8, temos:

a8= a1+7r => 3 = 2+7 r => r = 1/7


3- Determine o número de termos da P.A.

(4,7,10,...,136).

R= a1= 4, an= 136, r = 3, n=?

Aplicando a formula do termo geral, an= a1+ (n-1).r, temos:

136=4+(n-1) . 3 => 139 = 4 + 3n – 3 => 3n=135 => n=45

Logo a P.A, possui 45 termos.


4 - Determine a razão a P.A (an)n E N*, tal que a1 + a4 = 12 e que a3 + a5 = 18

R= Pela formula do termo geral, an= a1+(n-1)r, temos:

A4= a1 + 3r, a3= a1 +2r e a5 = a1 + 4r

Logo

Subtraímos, então, essas igualdades, membros a membro: e3r= - 6 => r = 2

5- Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem.

R= Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a P.A de primeiro termo igual a 1 e o ultimo termo igual a 25, havendo entre eles cinco outros termos, isto é :

( 1 , ... , ..., ..., ..., ..., 25)

Pela formula do termo geral, c temos: a7= a 1 + 6r => 25 + 6r => r 4

Logo, a P.A. é (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)




6- calcular a soma dos trintas primeiros termos da P.A (4, 9,14 19 ,...)

R= Aplicando a formula 

para n= 30, termos :

Precisamos calcular o valor de a 30. Pelo termo geral, an= a1+ (n-1).r, temos:

a30= 4+ 29 . 5 => a30 = 149

Logo  

1- Determinar a P.G. de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do 2 º com o 3º é 10.

R= quando se conhece o produto dos termos, a representação mais cômoda é ( x/q, x , xq ).

Pelo enunciado temos:

Substituindo (I) em (II): 2 + 2q = 10 => q = 4

Assim, para x= 2 e q = 4, a P.G é igual a ( 1/2 , 2 , 8 ).

2º - calcular a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3 , 6 , 12, ....).

R= a1 = 3, q= 2 , n = 10 , S 10= ?

como q ≠ 1, aplique a formula

3º - Calcular a soma dos infinitos termos da P.G.

.

R= Calculando a razão P.G. , obtemos q= 5/2 : 5 => q = ½

Como -1 < ½ < 1, então existe a soma S∞.




Pela formula 

S∞  = 10

1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?


Resposta: A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1

2. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados?

R=
Não, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura, que por sua vez depende do ângulo entre seus lados como está ilustrado na figura.

3. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d.

R=
Devemos calcular a medida do outro lado de retângulo, seja x este lado, pelo teorema de Pitágoras temos que:
d²=s²+x²

x²=d²-s²
x = R[d²-s²]
Area=s×x=s×R[d²-s²]

4.Uma  tela retangular tem 2m de comprimento por 1,5 de largura. Para desenhar uma figura nessa tela, um pintor pretende traçar segmentos de reta paralelos aos do retângulo, quadriculando-o em quadrinhos de 5 cm de lado. Quantos desses quadrinhos terá o quadriculado? 

R=calculando a área do retângulo, transformando o cumprimento  em cm fica,

A=200*150= 30000

Dividimos pela área dos quadrinhos

Aq= 5*5=25

30000/25= 1200

1. Em um prisma regular triangular cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base 6 cm

Calcule desse prisma:

a)      A área de uma face lateral

R= a face lateral é um retângulo , então usaremos a formula

10.6 = 60cm²

      b) A  área de uma base

a base é um triangulo eqüilátero então usaremos a formula

  

c)      A área lateral

R= já sabemos que a área de uma face lateral é 60cm2, e que o prisma tem 3 lados então:

A= 60*3= 180cm2

d)      A área total.

R= iremos reunir todos os dados

2. Um prisma hexagonal cada aresta lateral mede 8dm e cada aresta da base mede 4 dm
Calcule

a. a área de cada face lateral
b. a área de uma base    
c. a área lateral
d. a área total 

      R
a. sabendo que a face desse prisma é um retângulo então usaremos a formula A=a.b, então temos.
        Al= 4.8 = 32 cm²

    b.  Dividindo a base em 6 partes teremos, 6 triângulos idênticos então calcularemos primeiro um triangulo e depois multiplicaremos por 6:

c. sabemos que uma face tem 32 cm² e que são 6 faces, então temos:
      A=32.6=192 cm²


  d. iremos reunir todos os dados

3.  O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do paralelepípedo reto- retângulo representado na figura são 12cm,3cm e 4 cm, respectivamente.

Calcule:
a. a medida de uma diagonal da face EFGH;   
b. a medida de uma diagonal do paralelepípedo;   
c. a área total do paralelepípedo 
d. o volume do paralelepípedo  
 R
a. Usaremos a formula

b.  Usando a formula

c.  usando a formula At= 2(ab+ ac + bc)

A = 2.(3.13+12*4+3.4)
A= 2(36+48+12)
A= 2.96
A=192cm²

d.  usando a formula V = abc, então

V= 12.4.3
V= 144 cm³

 

Cilindro

Cone

Esfera

Numero complexos

1) Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
 
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m² - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.


2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .
 

Solução: Observe que (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)² = 1² + 2.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)² = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶.i⁶ = 64.(i²)³ = 64.(-1)³ = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.



3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)²⁰⁰ .
 

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)²]¹⁰⁰ . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)² = 1² - 2.i + i² = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)² = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)¹⁰⁰ = (- 2)¹⁰⁰. i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . ( i² )⁵⁰ = 2¹⁰⁰. (- 1)⁵⁰ = 2¹⁰⁰ . 1 = 2¹⁰⁰.
Logo, o número complexo z é igual a 2¹⁰⁰ e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.